المثلث القائم الزاوية و الدائرة

I _ خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية :

(1 – الخاصية المباشرة :

إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه.





* / بتعبير آخر :


إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A و M منتصف
[BC] فإن : MA = MB = MC .




* / مثال :
ABC مثلث قائم الزاوية في A و M منتصف [BC] .










سيكون لدينا : MA = MB = MC .

* / تمرين تطبيقي :
ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث : و E منتصف [BC] .
(1 – أرسم شكــلا مناسبا .
(2 – ماهي طبيعة المثلث AEB ؟ علل جوابك .
(3 – استنتج قياس الزاويتين .

الحــل :
(1 – الشكــل :






(2 – طبيعة المثلث AEB .

نعلم أن : ABC مثلث قائم الزاوية في A .
و
E منتصف الوتر [BC] .

إذن : EA = EB = EC .

أي : EA = EB .

و منه فإن المثلث AEB متساوي الساقين رأسه E .

(3 – لنستنتج قياس الزاوية .

نعلم أن : AEB مثلث متساوي الساقين في E .

إذن : .

و بما أن : فإن :

(2 – الخاصية العكسية :

إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .





* / بتعبير آخر :

ABC مثلث و E منتصف [AB] .
إذا كان : EA = EB = EC
فإن ABC مثلث قائم الزاوية في C .





* / تمرين تطبيقي :
AEB مثلث متساوي الساقين في E و C مماثلة A بالنسبة للنقطة E .
(1 – أرسم شكــلا مناسبا .
(2 – أثبت أن المثلث ABC قائم الزاوية .

الحــل :
(1 – الشكــل :









(2 – لنثبت أن ABC مثلث قائم الزاوية .

نعلم أن : AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E .

إذن : EA = EB  .

و نعلم أن : C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة E .

إذن : E منتصف [AC] .

و منه فإن : EA = EC  .

من  و  نستنتج أن : EA = EB = EC .

و بالتالي :
E منتصف [AC]
لدينا في المثلث ABC : و
EA = EB = EC

إذن : ABC مثلث قائم الزاوية في B.

II _ المثلث القائم الزاوية و الدائرة :

(1 – مثال :

EFG مثلث قائم الزاوية في E و O منتصف FG] .


-- لنثبت أن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث EFG محددين شعاعها.



لدينا EFG مثلث قائم الزاوية في E .

و بما أن O منتصف وتره [FG] فإن : OE = OF = OG ( حسب الخاصية المباشرة )

و منه فإن E و F و G تنتمي إلى نفس الدائرة التي مركزها O .

و بالتالي فإن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث EFG و التي شعاعها .
(2 – خاصية :

إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره هو مركز
الدائرة المحيطة به و التي شعاعها هو نصف طول وتره



* / بتعبير آخر :

إذا كان ABC مثلثا قائم الزاوية في A و O منتصف وترهBC] [
فإن : O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC و التي شعاعها